Découverte de la somme des nombres par Gauss**

Carl Friedrich Gauss était un mathématicien célèbre qui, enfant, a surpris son maître d'école par sa rapidité à résoudre un problème. Voici le problème qui lui avait été posé : « Calculez la somme de tous les nombres entiers de 1 à 100. »

Pour comprendre comment Gauss a résolu ce problème très rapidement, répondez aux questions suivantes, étape par étape.

1. Observer

Voici la somme que l'on a demandé de calculer à Gauss.
`1+2+3+4+...+97+98+99+100`

2. Analyser

On peut associer les nombres par paires en prenant le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, etc. On obtient ainsi l'addition suivante :
`(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+...`

3. Calculer
a. Quelle est la somme de chaque paire obtenue ?
b. Combien y a-t-il de telles paires ?
c. Calculer alors facilement la somme totale.

4. Généraliser

a. Si l'on voulait additionner les nombres entiers de 1 jusqu'à 200, quelle serait la formule générale pour calculer cette somme ?

b. Vérifier la formule avec la formule \(\text{Somme}=\cfrac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}\).

Vous venez de découvrir, grâce à Gauss, une méthode rapide pour calculer la somme d'une suite arithmétique. C'est d'ailleurs cette méthode qui est à l'origine de la formule \(\text{Somme}=\cfrac{n(u_0 + u_{n-1})}{2}\).